题目内容
已知命题p:对?x∈R,函数y=lg(2x-m+1)有意义;命题q:指数函数f(x)=(5-2m)x增函数.
(I)写出命题p的否定;
(II)若“p∧q”为真,求实数m的取值范围.
(I)写出命题p的否定;
(II)若“p∧q”为真,求实数m的取值范围.
分析:(I)根据全称命题的否定为特称命题可的原命题的否定.
(II)由已知若p为真,则2x-m+1>0,对x∈R恒成立,根据指数函数的性质,可求出命题P为真时实数m的取值范围;进而根据指数函数的单调性与底数的关系,可以求出命题q为真时实数m的取值范围;结合若“p∧q”为真,则p、q均为真,可求实数m的取值范围.
(II)由已知若p为真,则2x-m+1>0,对x∈R恒成立,根据指数函数的性质,可求出命题P为真时实数m的取值范围;进而根据指数函数的单调性与底数的关系,可以求出命题q为真时实数m的取值范围;结合若“p∧q”为真,则p、q均为真,可求实数m的取值范围.
解答:解:(I)命题p的否定是:?x∈R,命函数y=lg(2x-m+1)无意义.…(4分)
(II)若“p∧q”为真,则p、q均为真.…(5分)
若p为真,则2x-m+1>0,对x∈R恒成立,…(6分)
即2x>m-1,对x∈R恒成立,
∵对x∈R,2x>0,∴m-1≤0,∴m≤1.①…(9分)
若q为真,则5-2m>1,∴m<2.②…(11分)
由①,②可得实数m的取值范围为m≤1.…(12分)
(II)若“p∧q”为真,则p、q均为真.…(5分)
若p为真,则2x-m+1>0,对x∈R恒成立,…(6分)
即2x>m-1,对x∈R恒成立,
∵对x∈R,2x>0,∴m-1≤0,∴m≤1.①…(9分)
若q为真,则5-2m>1,∴m<2.②…(11分)
由①,②可得实数m的取值范围为m≤1.…(12分)
点评:本题主要考查了全称命题与特称命题的关系的应用,考查指数函数和对数函数的性质,其中求出命题P为真和命题q为真时实数a的取值范围是解答的关键,属于基础试题.
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