题目内容
(2010•孝感模拟)设(1+x+y)x的展开式的不含x项的系数和为ax,则
(
+
+…+
)=
lim |
x→∞ |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
1
1
.分析:根据二项式定理,可得(1+x+y)x的展开式,分析可得其中不含x的项为(1+y)x,令y=1,可得ax=2x,进而分析可得
=(
)x,则{
}是以
为首项,
为公比的等比数列,由等比数列的前n和公式可得
+
+…+
的值,由极限的计算公式,计算可得答案.
1 |
ax |
1 |
2 |
1 |
ax |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
解答:解:(1+x+y)x=[(1+y)+x]x,其展开式的通项为Tr+1=Cxr•(1+y)x-r•xr,
不含x的项为(1+y)x,令y=1,可得不含x项的系数和为2x,即ax=2x,
则
=(
)x,则{
}是以
为首项,
为公比的等比数列,
则
+
+…+
=
=(1-
n),
则
(
+
+…+
)=
(1-
n)=1;
故答案为1.
不含x的项为(1+y)x,令y=1,可得不含x项的系数和为2x,即ax=2x,
则
1 |
ax |
1 |
2 |
1 |
ax |
1 |
2 |
1 |
2 |
则
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
| ||||
1-
|
1 |
2 |
则
lim |
x→∞ |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
lim |
x→∞ |
1 |
2 |
故答案为1.
点评:本题考查二项式定理的应用,关键是由二项式定理求出ax的值,并结合等比数列的前n和公式和极限的计算方法,进行计算.
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