题目内容

(2010•孝感模拟)设(1+x+y)x的展开式的不含x项的系数和为ax,则
lim
x→∞
(
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
)
=
1
1
分析:根据二项式定理,可得(1+x+y)x的展开式,分析可得其中不含x的项为(1+y)x,令y=1,可得ax=2x,进而分析可得
1
ax
=(
1
2
x,则{
1
ax
}是以
1
2
为首项,
1
2
为公比的等比数列,由等比数列的前n和公式可得
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
的值,由极限的计算公式,计算可得答案.
解答:解:(1+x+y)x=[(1+y)+x]x,其展开式的通项为Tr+1=Cxr•(1+y)x-r•xr
不含x的项为(1+y)x,令y=1,可得不含x项的系数和为2x,即ax=2x
1
ax
=(
1
2
x,则{
1
ax
}是以
1
2
为首项,
1
2
为公比的等比数列,
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
1
2
(1-
1
2
n
)
1-
1
2
=(1-
1
2
n),
lim
x→∞
(
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
)
=
lim
x→∞
(1-
1
2
n)=1;
故答案为1.
点评:本题考查二项式定理的应用,关键是由二项式定理求出ax的值,并结合等比数列的前n和公式和极限的计算方法,进行计算.
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