Question

4．关于函数f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）sin（x+$\frac{π}{3}$），有下列命题：
①函数f（x）的最小正周期是π，其图象的一个对称中心是（$\frac{π}{6}$，0）；
②函数f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$，其图象的一条对称轴是x=$\frac{2π}{3}$；
③函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位后得到的函数是偶函数；
④函数f（x）在区间（0，$\frac{π}{2}$）上是增函数．
其中所有正确命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）sin（x+$\frac{π}{3}$）=sin（x-$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$-x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）cos（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故函数的周期为$\frac{2π}{2}$=π；再结合x=$\frac{π}{6}$时，函数y=0，可得其图象的一个对称中心是（$\frac{π}{6}$，0），
故①正确．
可得函数f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$，其图象的一条对称轴是x=$\frac{2π}{3}$，故②正确．
函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位后得到的函数是y=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$cos2x，故所得函数为偶函数，故③正确．
在区间（0，$\frac{π}{2}$）上，2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），故函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）在区间（0，$\frac{π}{2}$）没有单调性，故④不正确，
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．