题目内容

5.求证:
(1)当a>1时,$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}<2\sqrt{a}$;
(2)1,$\sqrt{2}$,3不可能是一个等差数列中的三项.

分析 (1)利用综合法证明即可;
(2)利用反证法证明,假设1,$\sqrt{2}$,3是同一个等差数列中的三项,分别设为am,an,ap,推出d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}$为无理数,又$\frac{3-1}{p-m}$为有理数,矛盾,即可证明不可能是等差数列中的三项.

解答 证明:(1)∵($\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$)2=2a+2$\sqrt{a+1}$•$\sqrt{a-1}$,$\sqrt{a+1}$>0,$\sqrt{a-1}$>0,且a+1≠a-1,
∴2a+2$\sqrt{a+1}$•$\sqrt{a-1}$<2a+2a,
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}<2\sqrt{a}$----------(7分)
(2)假设1,$\sqrt{2}$,3是同一个等差数列中的三项,分别设为am,an,ap
则d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}$为无理数,又$\frac{3-1}{p-m}$为有理数,矛盾.
∴假设不成立,即1,$\sqrt{2}$,3不可能是同一个等差数列中的三项.-------(14分)

点评 反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得.应用反证法证明的具体步骤是:①反设:作出与求证结论相反的假设; ②归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;③结论:说明反设成立,从而肯定原命题成立.

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