题目内容
5.求证:(1)当a>1时,$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}<2\sqrt{a}$;
(2)1,$\sqrt{2}$,3不可能是一个等差数列中的三项.
分析 (1)利用综合法证明即可;
(2)利用反证法证明,假设1,$\sqrt{2}$,3是同一个等差数列中的三项,分别设为am,an,ap,推出d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}$为无理数,又$\frac{3-1}{p-m}$为有理数,矛盾,即可证明不可能是等差数列中的三项.
解答 证明:(1)∵($\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$)2=2a+2$\sqrt{a+1}$•$\sqrt{a-1}$,$\sqrt{a+1}$>0,$\sqrt{a-1}$>0,且a+1≠a-1,
∴2a+2$\sqrt{a+1}$•$\sqrt{a-1}$<2a+2a,
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}<2\sqrt{a}$----------(7分)
(2)假设1,$\sqrt{2}$,3是同一个等差数列中的三项,分别设为am,an,ap,
则d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}$为无理数,又$\frac{3-1}{p-m}$为有理数,矛盾.
∴假设不成立,即1,$\sqrt{2}$,3不可能是同一个等差数列中的三项.-------(14分)
点评 反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得.应用反证法证明的具体步骤是:①反设:作出与求证结论相反的假设; ②归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;③结论:说明反设成立,从而肯定原命题成立.
练习册系列答案
相关题目
12.复数z=$\frac{1-i}{i}$在复平面上对应的点位于( )
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
9.已知a,b,c,d为实数,满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,则在a,b,c,d中( )
A. | 有且仅有一个为负 | B. | 有且仅有两个为负 | ||
C. | 至少有一个为负 | D. | 都为正数 |