Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：BC∥平面AB₁C₁；
（2）求点B₁到面A₁CD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线线平行证明线面平行，证明BC∥B₁C₁即可；
（2）利用等体积法，即由V_B1-A1CD=V_C-A1B1D，可求点B₁到面A₁CD的距离．
解答：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴BC∥B₁C₁，
又BC?平面AB₁C₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，
∴BC∥平面AB₁C₁；
（2）解：∵∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=，CD⊥AB，
∴CD=，AD=，AB=
∴A₁D=
∵AA₁=AC=1，∴A₁C=
∴A₁D²+CD²=A₁C²，
∴A₁D⊥CD，∴=
设点B₁到面A₁CD的距离为h．
∵=
∴由V_B1-A1CD=V_C-A1B1D，可得
∴h=
即点B₁到面A₁CD的距离为．
点评：本题考查线面平行，考查点到面的距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．