题目内容
设椭圆C:
(a>b>0)的离心率为e=
,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围。


(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围。
解:(Ⅰ)依题意知,2a=4,∴a=2,
∵
,
∴
,
∴所求椭圆C的方程为
。
(Ⅱ)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),
∴
,解得:
,
∴
,
∵点P(x0,y0)在椭圆C:
上,
∴-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10,
∴3x1-4y1的取值范围为[-10,10]。
∵

∴

∴所求椭圆C的方程为

(Ⅱ)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),
∴


∴

∵点P(x0,y0)在椭圆C:

∴-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10,
∴3x1-4y1的取值范围为[-10,10]。

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