Question

设椭圆C:=1(a＞b＞0)过点(1,),F₁、F₂分别为椭圆C的左、右两个焦点,且离心率e=.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M、N两点.若AM,AN的斜率k₁,k₂满足k₁+k₂=,求直线l的方程;

(3)已知P是椭圆C上位于第一象限内的点,△PF₁F₂的重心为G,内心为I,求证:GI∥F₁F₂.

Answer 1

解:(1) 得∴椭圆的标准方程为=1.

(2)由(1)得F₂(1,0),A(-2,0).

若直线l与x轴垂直,则k₁+k₂=0,不合题意;

设直线l为y=k(x-1)(k≠0),设直线与椭圆的交点坐标分别为M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).

由得(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0,

Δ=9k²-9＞0,得k＞1或k＜-1,

x₁+x₂=,x₁·x₂=,

y₁+y₂=k(x₁+x₂-2)=k(-2)=,

∵k₁=,k₂=,

∴k₁+k₂=+=

=,

∴x₁y₂+x₂y₁=.

∵x₁y₂+x₂y₁=x₁［k(x₂-1)］+x₂［k(x₁-1)］=,

∴,k=2,符合k＞1.

故所求直线MN的方程为y=2(x-1).

(3)证明:设PI交F₁F₂于Q,则,,

∴.∴=2.∴,IG∥F₁F₂.