题目内容

下列命题：
（1）函数f（x）=cos4x-sin4x的最小正周期是π；
（2）已知向量
a
=(λ，1)，
b
=(-1，λ2)，
c
=(-1，1)，则(
a
+
b
)∥
c
的充要条件是λ=-1；
（3）若
∫
a
1
1
x
dx=1，(a＞1)，则a=e．
其中所有的真命题是（　　）
分析：（1）利用半角公式对函数f（x）进行化简，再利用周期公式求出周期；
（2）根据向量平行的条件可得（
a
+
b
）=m
c
，可以求出λ的值；
（3）利用定积分公式，找出原函数谋求出a的值；
解答：解：（1）∵函数f（x）=cos4x-sin4=（cos2x-sin2x）（cos2x+sin2x）=（cos2x-sin2x）=cos2x，
∴T=
2π
2
=π，f（x）的最小正周期是π，故（1）正确；
（2）∵已知向量
a
=(λ，1)，
b
=(-1，λ2)，
c
=(-1，1)，要使(
a
+
b
)∥
c
，可得（
a
+
b
）=m
c
，
∵（
a
+
b
）=（λ-1，1+λ2），代入得
λ-1
1+λ2
=-1，解得λ=0或-1，
故（2）错误；
（3）
∫
a
1
1
x
dx=
lnx|
a
1
=lna-ln1=lna=1，可得a=e；
故（3）正确；
故选D；
点评：此题考查三角函数的化简，向量共线的条件以及定积分计算，考察的知识点比较多，但都比较基础！
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
（1）函数y=3x（x∈R）与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称；
（2）函数y=|sinx|的最小正周期T=2π；
（3）函数y=tan(2x+
π
3
)的图象关于点(-
π
6
，0)成中心对称图形；
（4）函数y=2sin(
π
3
-
1
2
x)，x∈[-2π，2π]的单调递减区间是[-
π
3
，
5
3
π]．
其中正确的命题序号是
 
．
已知函数y=
x
x-1
，给出下列命题：
（1）函数图象关于点（1，1）对称；
（2）函数图象关于直线y=2-x对称；
（3）函数在定义域内单调递减；
（4）将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与y=
1
x
的图象重合．
其中正确的命题是
（1）（2）（4）
（1）（2）（4）
（写出所有正确命题的序号）．
给出下列命题：
（1）函数f（x）=4sin（2x+
π
3
）的图象关于点（-
π
6
，0）对称；
（2）函数g（x）=-3sin（2x-
π
3
）在区间（-
π
12
，
5π
12
）内是增函数；
（3）函数h（x）=sin（
2x
3
x-
7π
2
）是偶函数；
（4）存在实数x，使sinx+cosx=
π
3
．
其中正确的命题的序号是
（1）（3）（4）
（1）（3）（4）
．
定义在R上的函数f（x）满足f(x+
3
2
)+f(x)=0，且函数y=f(x-
3
4
)为奇函数，给出下列命题：
（1）函数f（x）的周期为
3
2
，
（2）函数f（x）关于点(-
3
4
，0)对称，
（3）函数f（x）关于y轴对称．其中正确的是
（2）（3）
（2）（3）
．
给出下列命题：
（1）函数f(x)=log3(x2-2x)的单调减区间为（-∞，1）；
（2）已知P：|2x-3|＞1，q：
1
x2+x-6
＞0，则p是q的必要不充分条件；
（3）命题“?x∈R，sinx≤
1
2
”的否定是：“?x∈R，sinx＞”；
（4）已知函数f(x)=
3
sinωx+cosωx(ω＞0)，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则y=f（x）的单调递增区间是[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z；
（5）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；
其中所有正确的个数是（　　）

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