Question

【题目】如图，已知, , 是正三角形， .

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正切值。

Answer 1

【答案】（2）

【解析】试题分析：

（I）取 的中点 的中点 ，连接 ，由，△BCE是正三角形， ，结合三角形中位线性质，我们可得四边形 是平行四边形，则 ，根据线面平行的判定定理，即可得到结论．
（II）由 根据线面垂直判定定理可得 ，结合（I）中 ，可得 平面 ，结合面面垂直的判定定理，可得平面 平面 ；
（III）过作 ，连接BM，我们可以得到 为二面角 的平面角，解三角形 即可求出二面角的正切值．

试题解析：

(Ⅰ)当F为BE的中点时,CF∥平面ADE…(1分)

证明：取BE的中点F.AE的中点G，连接GD，GD，CF

∴GF=12AB,GF∥AB

又∵DC=12AB,CD∥AB

∴CD∥GF，CD=GF

∴CFGD是平行四边形…(3分)

∴CF∥GD

∴CF∥平面ADE…(4分)

(Ⅱ)∵CF⊥BF，CF⊥AB

∴CF⊥平面ABE

∵CF∥DG

∴DG⊥平面ABE…(6分)

∵DG平面ABE

∴平面ABE⊥平面ADE…(7分)

(Ⅲ)∵AB=BE

∴AE⊥BG

∴BG⊥平面ADE

过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE

则∠BMG为二面角ADEB的平面角…(9分)

设AB=BC=2CD=2，则

BG=2√,GE=2√

在Rt△DCE中，CD=1，CE=2

∴DE=5√

又DG=CF=3√

由DEGM=DGEG得GM=30√5…(11分)

∴tan∠BMG=BGGM=15√3

∴面角的正切值15√3…(12分)