题目内容

【题目】如图,已知, , 是正三角形, .

(1)求证:平面平面

(2)求二面角的正切值。

【答案】(2)

【解析】试题分析:

(I)取 的中点 的中点 ,连接 ,由,△BCE是正三角形, ,结合三角形中位线性质,我们可得四边形 是平行四边形,则 ,根据线面平行的判定定理,即可得到结论.
(II)由 根据线面垂直判定定理可得 ,结合(I)中 ,可得 平面 ,结合面面垂直的判定定理,可得平面 平面
(III)过 ,连接BM,我们可以得到 为二面角 的平面角,解三角形 即可求出二面角的正切值.

试题解析:

(Ⅰ)当F为BE的中点时,CF∥平面ADE…(1分)

证明:取BE的中点F.AE的中点G,连接GD,GD,CF

∴GF=12AB,GF∥AB

又∵DC=12AB,CD∥AB

∴CD∥GF,CD=GF

∴CFGD是平行四边形…(3分)

∴CF∥GD

∴CF∥平面ADE…(4分)

(Ⅱ)∵CF⊥BF,CF⊥AB

∴CF⊥平面ABE

∵CF∥DG

∴DG⊥平面ABE…(6分)

∵DG平面ABE

∴平面ABE⊥平面ADE…(7分)

(Ⅲ)∵AB=BE

∴AE⊥BG

∴BG⊥平面ADE

过G作GM⊥DE,连接BM,则BM⊥DE

则∠BMG为二面角ADEB的平面角…(9分)

设AB=BC=2CD=2,则

BG=2√,GE=2√

在Rt△DCE中,CD=1,CE=2

∴DE=5√

又DG=CF=3√

由DEGM=DGEG得GM=30√5…(11分)

∴tan∠BMG=BGGM=15√3

∴面角的正切值153(12分)

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