题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知定点
,点
在
轴上运动,点
在
轴上运动,点
为坐标平面内的动点,且满足
,
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过曲线第一象限上一点
(其中
)作切线交直线
于点
,连结
并延长交直线
于点
,求当
面积取最小值时切点
的横坐标.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)设点,
,
,由已知条件推导出点
,
,由此能求出动点
的轨迹
的方程;
(2)分别求出切线 与
的方程,求得
,
的纵坐标,写出三角形的面积,利用导数求解当△
面积取最小值时切点
的横坐标.
解:(1)设,
,
.因为
,
,
所以,
,
,所以
.
(2)
或
或
因为为曲线上第一象限的点,则
过(其中
)作曲线的切线,则切线的斜率
所以切线:
,将
代入得
,
直线:
,将
代入得
,
,
因为在抛物线上且在第一象限,所以
,所以
,
设,
,
,
,
.
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