题目内容
已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2-(m+1)x-m-2的图象与x轴交于A、B两点,点A在x轴的负半轴,点B在x轴的正半轴,与y轴交于点C,且OB=3OA.(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,过点A的直线

(3)点G(x,1)在抛物线上,求出过点A、B、G的圆的圆心的坐标.
【答案】分析:解:(1)由题设条件,设A(-x,0),B(3x,0)(x>0),则
,由A(-x,0),知
,由此能求出这个二次函数的解析式.
(2)由这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3,知A(-1,0),B(3,0),D(1,-4),对称轴为直线x=1.由
,得到点E的坐标为(
).过点E作EH⊥x轴于H.在Rt△AEH中,可求AE=
,若对称轴与直线
交于点P,P点坐标为(1,1).由∠PAM=∠MDB,知要使得在抛物线的对称轴上存在点F,使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似,只需要
或
.由此能求出符合题意的F点坐标.
(3)由点G(x,1)在抛物线上,知点G的坐标为(1
,1),由A、B、G在同一圆上,知圆心一定在抛物线的对称轴上,由PA=PA=PG=
,知点P即为过点A、B、G的圆的圆心.
解答:解:(1)由题设条件,设A(-x,0),B(3x,0)(x>0),
则
,
∴由A(-x,0),知
,
即3m2+2m-5=0,
解得m=1,或m=-
(舍).
∴这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
(2)在抛物线的对称轴上存在这样的点F,使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似.∵这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3,
∴A(-1,0),B(3,0),D(1,-4),
对称轴为直线x=1.
∵过点A的直线
与抛物线交于点E,
∴
,
解得
或
,
∴点E的坐标为(
).
过点E作EH⊥x轴于H
在Rt△AEH中,可求AE=
.
若对称轴与直线
交于点P,
∴P点坐标为(1,1)
∵对称轴与x轴垂直,交点为点M,
∴在Rt△BMD中,可求BD=2
,
在Rt△APM中,
,
在Rt△BMD中,
,
∴∠PAM=∠MDB.
由题意,要使得在抛物线的对称轴上存在点F,使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似,只需要
或
.
∴
,
解得
,
∴点F1 的坐标为(1,
).
或
,
解得 D
,
∴点F2 的坐标为(1,-
).
综上,符合题意的F点坐标为
.
(3)∵点G(x,1)在抛物线上
∴点G的坐标为(1
,1),
又∵A、B、G在同一圆上
∴圆心一定在抛物线的对称轴上
∵PA=PA=PG=
,
∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心
∴点P的坐标为(1,1).
点评:本题主要考查二次函数的性质和应用,直线与圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.


(2)由这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3,知A(-1,0),B(3,0),D(1,-4),对称轴为直线x=1.由






(3)由点G(x,1)在抛物线上,知点G的坐标为(1


解答:解:(1)由题设条件,设A(-x,0),B(3x,0)(x>0),
则

∴由A(-x,0),知

即3m2+2m-5=0,
解得m=1,或m=-

∴这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
(2)在抛物线的对称轴上存在这样的点F,使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似.∵这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3,
∴A(-1,0),B(3,0),D(1,-4),
对称轴为直线x=1.
∵过点A的直线

∴

解得


∴点E的坐标为(

过点E作EH⊥x轴于H
在Rt△AEH中,可求AE=

若对称轴与直线

∴P点坐标为(1,1)
∵对称轴与x轴垂直,交点为点M,
∴在Rt△BMD中,可求BD=2

在Rt△APM中,

在Rt△BMD中,

∴∠PAM=∠MDB.
由题意,要使得在抛物线的对称轴上存在点F,使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似,只需要


∴

解得

∴点F1 的坐标为(1,

或

解得 D

∴点F2 的坐标为(1,-

综上,符合题意的F点坐标为

(3)∵点G(x,1)在抛物线上
∴点G的坐标为(1

又∵A、B、G在同一圆上
∴圆心一定在抛物线的对称轴上
∵PA=PA=PG=

∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心
∴点P的坐标为(1,1).
点评:本题主要考查二次函数的性质和应用,直线与圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.

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