Question

6．已知函数f（x）=-x³+ax²-4．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在[-1，1]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，+∞）上的最大值大于零，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=2代入函数的表达式，求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函的最值；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，求出函数的最大值，进而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=-x³+2x²-4，则f′（x）=-3x²+4x，
令f′（x）=0，得：x=0或x=$\frac{4}{3}$．
列表：

x	-=1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）	-7	-	0	+	1
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

f（x）在区间（-1，0）上单调递减，在区间（0，1）上单调递增．
所以，当x∈[-1，1]时，f（x）最小值为f（0）=-4．
（Ⅱ）由已知f′（x）=-3x（x-$\frac{2a}{3}$），
当a=0时，f′（x）=-3x²，函数f（x）为减函数，
f（x）在区间[0，+∞）上的最大值为f（0）=-4，不符合题意；
当a＜0时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，最大值为f（0）=-4，不符合题意；
当a＞0时，函数f（x）在区间（0，$\frac{2a}{3}$）上为增函数，在区间（$\frac{2a}{3}$，+∞）上为减函数，
所以：f（x）在区间[0，+∞）上的最大值为：f（$\frac{2a}{3}$）=$\frac{{4a}^{3}}{27}$-4，
依题意，令$\frac{{4a}^{3}}{27}$-4＞0，解得a＞3，符合题意，
综上，a的取值范围是（3，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．