Question

已知等比数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

5

2

+log2an，求数列{b_n}的前n项和T_n
（III）比较（II）中T_n与

1

2

n3+2（n=1，2，3…）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）设{a_n}的公比为q，则由题意知a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10，由此可知a_n=2^n-1．
（II）由题意知，bn=

5

2

+log22n-1=

5

2

+(n-1)=n+

3

2

，由此可知Tn=

n(b1+bn)

2

=

n(n+4)

2

．
（III）由(

1

2

n3+2)-Tn=

1

2

(n3-n2-4n+4)=

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)知当n=1、2时，T_n=

1

2

n3+2；当n≥3时T_n＜

1

2

n3+2．

解答：解：（I）设数列{a_n}的公比为q，则
方法一：a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10（2分）
∴q=2，a₁=1，则a_n=2^n-1（4分）
方法二：易知q≠1，则a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5S4=

a1(1-q4)

1-q

=

a1(1-q)(1+q)(1+q2)

1-q

=a1(1+q)(1+q2)=15，
则1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，bn=

5

2

+log22n-1=

5

2

+(n-1)=n+

3

2

，
所以数列{b_n}是一个以

5

2

为首项，1为公差的等差数列（5分）
∴Tn=

n(b1+bn)

2

(6分)
=

n( 5 2 +n+ 3 2 )

2

=

n(n+4)

2

(9分)
（III）∵(

1

2

n3+2)-Tn=

1

2

(n3-n2-4n+4)=

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)（11分）
∴当n=1、2时，

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)=0，即T_n=

1

2

n3+2（12分）
当n≥3时，

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)＞0，即T_n＜

1

2

n3+2（14分）

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意审题，仔细解答．