Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）设f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（d）的最小值．
（2）当a=2，c=-1时，
①设A=[-1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，求实数b的取值范围；
②设g（x）=|x-t|-x²-bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得方程ax²+bx+c=x存在两等根x₁=x₂=1，可得 b=1-2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得 h（a）=M+m=f（-2）+f（1-

1

2a

）=9a-

1

4a

-1，再利用单调性求出 h（a）的最小值．
（2）①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1≤- b 4 ≤1

，由此解得 b的范围．
②根据f（x）+g（x）=x²+|x-t|-1，分t＜-

1

2

时、当-

1

2

≤t≤

1

2

时、t＞

1

2

时三种情况分别求得f（x）+g（x）的最小值．

解答：解：（1）由题意可得方程ax²+bx+c=x 存在两等根x₁=x₂=1，可得 b=1-2a，c=a．
∴f（x）=a (x-

2a-1

2a

)2+1-

1

4a

，它的对称轴为 x=1-

1

2a

∈[

1

2

，1]．
∵x∈[-2，2]，∴h（a）=M+m=f（-2）+f（1-

1

2a

）=9a-

1

4a

-1，
∵a≥1，故函数 h（a）为增函数，
∴函数 h（a）的最小值为 h（1）=

31

4

．
（2）当a=2，c=-1时，f（x）=2x²+bx-1，①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1≤- b 4 ≤1

，解得 b∈[-1，1]．
②f（x）+g（x）=x²+|x-t|-1=

(x+ 1 2 )2-t- 5 4  ， x≥t (x- 1 2 )2+t- 5 4  ， x＜t

．
当 t＜-

1

2

时，最小值为-t-

5

4

，
当-

1

2

≤t≤

1

2

 时，最小值为 t²-1，
当t＞

1

2

 时，最小值为t-

5

4

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．