题目内容
设直线
是曲线
的一条切线，
.
（1）求切点坐标及
的值；
（2）当
时，存在
，求实数
的取值范围.
（1）切点
，
或者切点
，
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）先设切点
，然后依题意计算出
，由
，计算出切点的横坐标，代入切线的方程，可得切点的纵坐标，最后再将切点的坐标代入曲线C的方程计算得
的值；（2）结合（1）中求出的
，确定
，设
，然后将存在
使
成立问题，转化为
，进而求出
，分
、
、
三种情况讨论函数
在上的单调性，确定
，相应求解不等式
，即可确定
的取值范围.
试题解析：（1）设直线
与曲线
相切于点
∴
,解得
或
代入直线方程，得切点
坐标为
或
切点在曲线上，∴
或
综上可知，切点，或者切点， 5分
（2）∵
，∴
，设
，若存在使成立，则只要 7分
①当
即
时
，
是增函数，
不合题意 8分
②若
即
令
，得
，∴
在
上是增函数
令
，解得
，∴在
上是减函数
，
,解得
10分
③若
即
，
令
，解得
，∴在
上是增函数
∴
，不等式无解，∴
不存在 12分
综上可得，实数
的取值范围为 13分.
考点：1.导数的几何意义；2.函数的最值与导数；3.分类讨论的思想.
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