Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）直线l：y=x+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．由|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

22+( 2 2 )2

=2

2

，知动点轨迹为椭圆，由此能求出其方程．
（2）将y=x+t代入方程

x2

2

+y²=1，得3x²+4tx+2t²-2=0．设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

22+( 2 2 )2

=2

2

，
∴动点轨迹为椭圆，且a=

2

，c=1，从而b=1．
∴方程为

x2

2

+y²=1
（2）将y=x+t代入方程

x2

2

+y²=1，得3x²+4tx+2t²-2=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴△=16t²-4•3•（2t²-2）＞0①，
x₁+x₂=-

4t

3

②，
x₁x₂=

2t2-2

3

③，
由①得t²＜3，
∴S_MANB=

1

2

|AB||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=

2

3

6-2t2

．

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和应用，解题时要注意公式的灵活运用．