题目内容

（2013•昌平区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么（
AB
-
AC
）•
AD
=
2
2
；若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则
AD
•
EP
的取值范围是
[-9，9]
[-9，9]
．
分析：由条件可得
AD
=
AB
+
AC
2
，故(
AB
-
AC
)•
AD
=(
AB
-
AC
)• 
AB
+
AC
2
=
AB
2-
AC
2
2
，由此求得(
AB
-
AC
)•
AD
的值．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=
AD
•
EP
的取值范围．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么
AD
=
AB
+
AC
2
，
AB
2=
AC
2+
BC
2=16+4=20．
∴(
AB
-
AC
)•
AD
=(
AB
-
AC
)• 
AB
+
AC
2
=
AB
2-
AC
2
2
=
20-16
2
=2．
以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），
由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），
则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有
x≥0
y≥0
x
4
+
y
2
≤1
．
令t=
AD
•
EP
=（-4，1）•（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7．
故当直线y=4x+t-7过点A（4，0）时，t取得最小值为7-16+0=-9，
当直线y=4x+t-7过点B（0，2）时，t取得最大值为 7-0+2=9，
故t=
AD
•
EP
的取值范围是[-9，9]，
故答案为 2，[-9，9]．
点评：本题主要考查两个向量的数量积运算，线段的中点公式，简单的线性规划问题，属于中档题．
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2i
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3
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1
2
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2
）＞f（
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）
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1-3a
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