Question

（本小题满分13分）已知函数
（I）当0< a < b，且f（a） = f（b）时，求的值；
（II）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]（m≠0）．求m的取值范围．

Answer 1

（1）
（2）

解：（I）∵
∴f（x）在（0，1）上为减函数，在上是增函数．
由0<a<b，且f（a）=f（b），可得 0<a1<b且．所以．
（II）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a>0，m>0．
当时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故．
此时得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
当　时，易知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．　故只有．                 ∵在上是增函数，
∴       即   a、b是方程的两个根．
即关于x的方程有两个大于1的实根．设这两个根为，．
则+=，·=．
∴      即 解得  ．