题目内容
【题目】在直角坐标系中,动圆
与圆
外切,且圆
与直线
相切,记动圆圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)设过定点的动直线
与曲线
交于
两点,试问:在曲线
上是否存在点
(与
两点相异),当直线
的斜率存在时,直线
的斜率之和为定值?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】
(1)设,圆
的半径为
,由动圆
与圆
外切,可得
,又动圆
与直线
相切,所以
,两式结合消去
即可得结果;(2)设出
的坐标,
直线方程为,联立直线与抛物线方程消去
可得关于
的一元二次方程,由韦达定理、斜率公式可得
,
,化为
,由
可得结果.
(1)设P(x,y),圆P的半径为r,
因为动圆P与圆Q:(x-2)2+y2=1外切,
所以,①
又动圆P与直线x=-1相切,所以r=x+1,②
由①②消去r得y2=8x,
所以曲线C的轨迹方程为y2=8x.
(2)假设存在曲线C上的点M满足题设条件,不妨设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则,
,
,
,
,
所以,③
显然动直线l的斜率存在且非零,设l:x=ty-2,
联立方程组,消去x得y2-8ty+16=0,
由Δ>0得t>1或t<-1,
所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2,
代入③式得,令
(m为常数),
整理得,④
因为④式对任意t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,
所以,
所以或
,即M(2,4)或M(2,-4),
即存在曲线C上的点M(2,4)或M(2,-4)满足题意.
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