Question

（2012•黔东南州一模）某项试验在甲、乙两地各自独立地试验两次，已知在甲、乙两地每次试验成功的概率依次为

2

3

、

3

4

；不成功的概率依次为

1

3

、

1

4

．
（Ⅰ）求以上的四次试验中，至少有一次试验成功的概率；
（Ⅱ）在以上的四次试验中，试验成功的次数为ξ，求ξ的分布列，并计算Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设至少有一次试验成功的概率为p₁，利用n次独立重复试验和间接法能够能求出四次试验中，至少有一次试验成功的概率．
（Ⅱ）依题意ξ可取0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）设至少有一次试验成功的概率为p₁，
依题意得p1=1-(1-

2

3

)2(1-

3

4

)2=

143

144

…（5分）
（Ⅱ）依题意ξ可取0，1，2，3，4，…（6分）
∵P（ξ=0）=

C

2 2

(

1

3

)2

C

2 2

(

1

4

)2=

1

144

；
P（ξ=1）=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

C

2 2

(

1

4

)2+

C

1 2

×

1

4

×

3

4

×

C

2 2

(

1

3

)2=

10

144

，
P（ξ=2）=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

C

1 2

×

1

4

×

3

4

+

C

2 2

(

2

3

)2

C

2 2

(

1

4

)2+

C

2 2

(

3

4

)2

C

2 2

(

1

3

)2=

37

144

，
P（ξ=3）=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

C

2 2

(

3

4

)2+

C

1 2

×

1

4

×

3

4

×

C

2 2

(

2

3

)2=

60

144

，
P（ξ=4）=

C

2 2

(

2

3

)2×

C

2 2

(

3

4

)2=

36

144

，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
p	1 144	10 144	37 144	60 144	36 144

…（11分）
故Eξ=0×

1

144

+1×

10

144

+2×

37

144

+3×

60

144

+4×

36

144

=

17

6

．       …（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．