Question

【题目】已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．

Answer 1

【答案】
（1）解：原曲线方程可化简得：

由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得： ，解得：

（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）＞0，解得：

由韦达定理得： ①， ，②

设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为： ，则 ，

∴ ， =（xN，kxN+2），

欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线

即 成立，化简得：（3k+k）xMxN=﹣6（xM+xN）

将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．

【解析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3），解得： ，设N（xN ， kxN+4），M（xM ， kxM+4），G（xG ， 1），MB方程为： ，则 ，从而可得 ， =（xN ， kxN+2），欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线，利用韦达定理，可以证明．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．