题目内容
19．
如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；
（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．
分析 （Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；
（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．
解答 （Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，
所以PB=PC，且PO平分∠BPC，
所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）
（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，
在Rt△PBD中，可得BD=4．
则由切割线定理得DC2=DA•DB，
得DA=1，因此AB=3．…（10分）
点评 本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．
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7．某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如表所示．
（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？频率分布表．
| 组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
| 第1组 | [50，55） | 5 | 0.050 |
| 第2组 | [55，60） | ① | 0.350 |
| 第3组 | [60，65） | 30 | ② |
| 第4组 | [65，70） | 20 | 0.200 |
| 第5组 | [70，75] | 10 | 0.100 |
| 合计 | 100 | 1.000 | |
（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？频率分布表．
4．某学校对学生进行三项身体素质测试，每项测试的成绩有3分、2分、1分，若各项成绩均不小于2分切三项测试分数之和不小于7分的学生，则其身体素质等级记为优秀；若三项测试分数之和小于6分，则该学生身体素质等级记为不合格，随机抽取10名学生的成绩记录如下表：
（1）利用上表提供的数据估算该学校学生身体素质的优秀率；
（2）从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取2人组成小组加强锻炼，求这2人三项测试总分相同的概率．
| 学生编号 | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | a7 | a8 | a9 | a10 |
| 三项成绩 | 2，1，2 | 1，2，2 | 2，3，2 | 3，1，1 | 3，2，2 | 2，3，1 | 3，3，3 | 1，1，1 | 3，3，1 | 2，2，2 |
（2）从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取2人组成小组加强锻炼，求这2人三项测试总分相同的概率．
要在一个半径为R的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，问应如何截取，并求此矩形的面积．