Question

8．已知正方形ABCD的边长为1，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 如图所示，利用对称性可知：EFGH为正方形．$∠EBH=\frac{π}{6}$．可得弓形$\widehat{EH}$的面积，利用余弦定理可得$E{H}^{2}={1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos\frac{π}{6}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
利用对称性可知：EFGH为正方形．
$∠EBH=\frac{π}{6}$．
∴弓形$\widehat{EH}$的面积=$\frac{π×{1}^{2}}{12}$-$\frac{1}{2}×{1}^{2}×sin\frac{π}{6}$=$\frac{π-3}{12}$，
$E{H}^{2}={1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos\frac{π}{6}$=$2-\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积S=EH²+4×$\frac{π-3}{12}$
=2-$\sqrt{3}$+$\frac{π-3}{3}$
=$\frac{π}{3}$+1-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形与圆的对称性、弓形的面积、余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．