题目内容
【题目】如图,由直三棱柱和四棱锥
构成的几何体中,
,平面
平面
.
(1)求证:;
(2)在线段上(含端点)是否存在点P,使直线
与平面
所成的角的正弦值为
?若存在,求
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在;.
【解析】
(1)根据题意可知,然后根据面面垂直的性质定理可知
平面
,进一步可得结果.
(2)建立空间直角坐标系,假设计算平面
的一个法向量
,以及
,然后根据
,计算可得
.
(1)证明:直三棱柱中,
,
平面平面
,平面
平面
,
所以平面
,
因为平面
,所以
.
(2)假设线段上(含端点)存在点P,
使直线与平面
所成的角的正弦值为
,
以A为原点,为x轴,
为y轴,
为z轴,
建立空间直角坐标系,如图
则,
设,
则,
,
所以,
设平面的法向量
,
则取
,得
,
因为直线与平面
所成的角正弦值为
,
设直线与平面
所成的角为
,
所以,
解得,或
(舍)
所以在线段上(含端点)存在点P,
使直线与平面
所成的角正弦值为
,
解得.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式,为了了解是否使用支付宝捐步与年龄有关,研究人员随机抽取了5000名使用支付宝的人员进行调查,所得情况如下表所示:
50岁以上 | 50岁以下 | |
使用支付宝捐步 | 1000 | 1000 |
不使用支付宝捐步 | 2500 | 500 |
(1)由上表数据,能否有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关?
(2)55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划,可知其在捐步的前5天,捐步的步数与天数呈线性相关.
第x天 | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 |
步数 | 4000 | 4200 | 4300 | 5000 | 5500 |
(i)根据上表数据,建立关于
的线性回归方程
;
(ii)记由(i)中回归方程得到的预测步数为,若从5天中任取3天,记
的天数为X,求X的分布列以及数学期望.
附参考公式与数据:,
;K2=
;
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |