题目内容
如图,平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°,又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°
(Ⅰ)求证:AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小;
(Ⅲ)求多面体PMABC的体积.
本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识,考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。
解法一:
(Ⅰ)∵平面PMBC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC平面ABC
∴AC⊥平面PMBC,
又∵BM平面PMBC
∴AC⊥BM
(Ⅱ)取BC的中点N,则CN=1,连结AN,MN,,
∵平面PCBM⊥平面ABC,平面PCBM平面ABC=BC,PC⊥BC
∴PC⊥平面ABC
∵,∴,从而
作NH⊥AB于H,连结MH,则由三垂线定理知,AC⊥MH,
从而MHN为二面角M-AB-C的平面角
直线AM与直线PC所成的角为60°
∴AMN=60°
在ACN中,由勾弦定理得AN=
在RtAMN中,MN=AN?cotAMN=
在RtBNH中,NH=BN?sinABC=BN?
在RtMNH中,
故二面角M-AB-C的大小为
(Ⅲ)因多面体PMABC就是四棱锥A-BCPM
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