Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）.

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为；

②求p的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.

【解析】

（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：，解出p的取值范围.

（1）抛物线的焦点为

由点在直线上，得，即

所以抛物线C的方程为

（2）设，线段PQ的中点

因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ，

于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为

①由消去得

因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以

从而，化简得.

方程（*）的两根为，从而

因为在直线上，所以

因此，线段PQ的中点坐标为

②因为在直线上

所以，即

由①知，于是，所以

因此的取值范围为