题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x
y2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）.
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为
；
②求p的取值范围.
【答案】（1）
；（2）①证明见解析;②
.
【解析】
（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：
，解出p的取值范围.
（1）抛物线
的焦点为
由点在直线
上，得
，即
所以抛物线C的方程为
（2）设
，线段PQ的中点
因为点P和Q关于直线
对称，所以直线垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为
，则可设其方程为
①由
消去
得
因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而
，化简得
.
方程（*）的两根为
，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为
在直线
上
所以
，即
由①知，于是
，所以
因此
的取值范围为
【题目】高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是：选择家的占
、选择朋友聚集的地方的占
、选择个人空间的占.上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占
、选择家的占
、选择个人空间的占.
（1）请根据以上调查结果将下面
列联表补充完整，并判断能否有
的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：
在家里最幸福 | 在其它场所最幸福 | 合计 | |
洛阳高中生 | |||
上海高中生 | |||
合计 |
（2） 从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.
附：
，其中
d.
【题目】2018年上海国际青少年足球邀请赛将在6月下旬举行.一体育机构对某高中一年级750名男生，600名女生采用分层抽样的方法抽取45名学生对足球进行兴趣调查，统计数据如下所示：
表1：男生
结果 | 有兴趣 | 无所谓 | 无兴趣 |
人数 |
| 2 | 3 |
表2：女生
结果 | 有兴趣 | 无所谓 | 无兴趣 |
人数 | 12 |
| 2 |
（1）求
，
的值；
（2）运用独立性检验的思想方法分析：请你填写
列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过
的前提下认为非“有兴趣”与性别有关系？
男生 | 女生 | 总计 | |
有兴趣 | |||
非有兴趣 | |||
总计 |
（3）从45人所有无兴趣的学生中随机选取2人，求所选2人中至少有一个女生的概率.
附：
，
.
| 0.10 | 0.05 | 0.01 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
