Question

3．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F₁，F₂，|AB|=4，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F₁F₂、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k₁，k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定2a=4，2c=2$\sqrt{3}$，求出b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，利用韦达定理，结合|CM|=|DN|，求出m的范围，再求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为2a=4，2c=2$\sqrt{3}$，
所以a=2，c=$\sqrt{3}$，
所以b=1，
所以椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，可得（4k²+1）x²+x8mk+4m²-4=0．
设D（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8mk}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
又M（-$\frac{m}{k}$，0），N（0，m），
由|CM|=|DN|得x₁+x₂=x_M+x_N，所以-$\frac{8mk}{4{k}^{2}+1}$=-$\frac{m}{k}$，所以k=$\frac{1}{2}$（k＞0）．
所以x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2．
因为直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F₁F₂、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），
所以-$\sqrt{3}$≤-2m≤$\sqrt{3}$且m≠0，
所以（$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$）²=[$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-2）}{{y}_{2}（{x}_{1}+2）}$]²=$\frac{（2-{x}_{1}）（2-{x}_{2}）}{（2+{x}_{2}）（2+{x}_{1}）}$
=$\frac{4-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}{4+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4-2•（-2m）+2{m}^{2}-2}{4+2•（-2m）+2{m}^{2}-2}$=$\frac{（m+1）^{2}}{（m-1）^{2}}$，
所以$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{1+m}{1-m}$=-1-$\frac{2}{m-1}$∈[-2$\sqrt{3}$-3，2$\sqrt{3}$-3]．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．