题目内容
5．（1）已知a、b、c∈R+，求证：$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}{b}$+$\frac{b+a-c}{c}$≥3（2）设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，证明：ab+bc+ac≤$\frac{1}{3}$．
分析 （1）变形，利用基本不等式，即可证明结论；
（2）1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3ab+3bc+3ca，即可证明结论．
解答 证明：$（1）\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}+\frac{a+b-c}{c}=（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）+（\frac{c}{a}+\frac{a}{c}）+（\frac{c}{b}+\frac{b}{c}）-3≥6-3=3$
所以$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}{b}$+$\frac{b+a-c}{c}$≥3----------------------------（6分）
（2）因a、b、c均为正数，且a+b+c=1，
故1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3ab+3bc+3ca
所以$ab+bc+ac≤\frac{1}{3}$---------------------------------------（12分）
点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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