Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并用单调性定义证明你的结论；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法先求出f（0），然后令y=-x，可得f（-x）与f（x）的关系，从而判定函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义先在定义域上任取两点，并规定大小，然后判定函数的大小，从而确定函数的单调性；
（3）关于恒成立的问题常常进行转化，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立可转化成（1-2a）m+2＞1，?a∈[-1，1]恒成立，然后将其看成关于a的函数研究恒成立问题．

解答：解：（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0
令y=-x，则f（x-x）=f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．（4分）
（2）函数f（x）在[-1，1]上是增函数．（6分）
设x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x则x₂-x₁＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）
又∵x＞0，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故由函数单调性定义可知，函数f（x）在[-1，1]上是增函数．（10分）
（3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．
则必须（1-2a）m+2＞1，?a∈[-1，1]恒成立；
即-2ma+m+1＞0，?a∈[-1，1]恒成立
令g（a）=-2ma+m+1必须

g(-1)＞0 g(1)＞0

即

-2m(-1)+m+1＞0 -2m+m+1＞0

解得-

1

3

＜m＜1
故实数m的取值范围为-

1

3

＜m＜1．（14分）

点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，以及函数恒成立问题的运用，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题．