Question

【题目】已知函数，不等式对恒成立.

（1）求函数的极值和实数的值；

（2）已知函数，，其中为自然对数的底数.若存在，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），不存在极小值；。（2）。

【解析】

（1）利用导数对求导，由单调区间求得函数的极值. 对不等式两边取以为底的对数，化简为的形式，根据前面所求的单调区间求得的值.（2）将表达式代入不等式左边，构造函数，对分成，两类，通过函数的导数，讨论函数的单调性，利用函数的最小值为负数，求得的取值范围.

（1），则时，，时，，

故在区间上单调递增，在区间上单调递减，

故，不存在极小值.

显然，不合题意.

当时，由得，

则有，

故依题意知对恒成立.

当时，取得最大值，故.

当时，取得最大值，故，故.

综上得.

（2）设，

则.

①当时，，，，

所以不存在使得成立.故不合题意.

②当时， ，

因为，所以，，所以在恒成立，

故在上单调递减， ，

则依题意有，

解之得，

故的取值范围为.