题目内容
已知关于x的不等式（kx-k2-4）（x-4）＞0，其中k∈R．（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
分析：（1）对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素．
（2）由（1）的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况
（2）由（1）的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况
解答：解：（1）当k=0时，A=（-∞，4）；
当k＞0且k≠2时，4＜k+
，A=(-∞，4)∪(k+
，+∞)；
当k=2时，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；
当k＜0时，k+
＜4，A=(k+
，4)．
（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k＜0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．
因为k+
≤-4，当且仅当k=-2时取等号，
所以当k=-2时，集合B的元素个数最少．
此时A=（-4，4），故集合B={-3，-2，-1，0，1，2，3}．
当k＞0且k≠2时，4＜k+
| 4 |
| k |
| 4 |
| k |
当k=2时，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；
当k＜0时，k+
| 4 |
| k |
| 4 |
| k |
（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k＜0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．
因为k+
| 4 |
| k |
所以当k=-2时，集合B的元素个数最少．
此时A=（-4，4），故集合B={-3，-2，-1，0，1，2，3}．
点评：本题考查的分类讨论的思想，这也是高中数学中经常考查的思想内容．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．