Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（f（

5

2

））的值是

 

．

Answer 1

分析：根据条件“对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x）”利用赋值法求出f（

1

2

）=0，f（

3

2

）=0，f（

5

2

）=0，f（0）=0，从而求出所求．

解答：解：由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得

3

2

f(

5

2

)=

5

2

f(

3

2

)，

1

2

f（

3

2

）=

3

2

f（

1

2

）
-

1

2

f（

1

2

）=

1

2

f（-

1

2

）又∵f（

1

2

）=f（-

1

2

）
∴f（

1

2

）=0，f（

3

2

）=0，f（

5

2

）=0
又∵-1×f（-1+1）=（1-1）f（-1）
∴-f（0）=0f（-1）=0
即f（0）=0
∴f（f（

5

2

））=f（0）=0
故答案为：0

点评：本题主要考查了抽象函数求值问题，以及函数奇偶性的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．