题目内容
已知函数
．
（1）当
时，判断
在
的单调性，并用定义证明．
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
（3）讨论
零点的个数．
(1)单调递减函数；（2）
；（3）当
或
时，
有1个零点．当
或
或
时，有2个零点；当
或
时，有3个零点．
【解析】
试题分析：（1）先根据条件化简函数式，根据常见函数的单调性及单调性运算法则，作出单调性判定，再用定义证明；（2）将题中所给不等式具体化，转化为不等式恒成立问题，通过参变分离化为
，求出
的最大值，则m的范围就是m大于
的最大值；（3）将函数零点个数转化为方程
解的个数，再转化为函数
与
交点个数，运用数形结合思想求解.
试题解析：（1）当
，且
时，
是单调递减的． 1分
证明：设
，则
3分
又，所以
，
，
所以
所以
，即
，
故当时，在
上单调递减的． 4分
（2）由
得
，
变形为
，即
而
，
当
即
时
，
所以． 9分
（3）由
可得
，变为
令
作
的图像及直线
，由图像可得：
当或时，有1个零点．
当或或时，有2个零点；
当或时，有3个零点． 14分
考点：1.函数奇偶性的判定；2.不等式恒成立问题；3.函数零点；4.数形结合思想.
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