题目内容
【题目】已知三棱柱的底面是正三角形,侧面
为菱形,且
,平面
平面
,
、
分别是
、
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:;
(3)求与平面
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)连接交
于点
,连接
、
,证明四边形
为平行四边形,可得出
,再利用线面平行的判定定理即可得出结论;
(2)取的中点
,连接
、
、
,证明出
平面
,进而可证明出
;
(3)连接,证明出
平面
,可得出
与平面
所成的角为
,通过解
可得出
的值.
(1)如图,连接交
于点
,连接
、
,则
为
的中点,
在三棱柱中,
且
,
、
分别为
、
的中点,所以,
且
,
为
的中点,
且
,则四边形
为平行四边形,
,
平面
,
平面
,因此,
平面
;
(2)取的中点
,连接
、
、
,
四边形
为菱形,则
,
、
分别为
、
的中点,
,则
.
为等边三角形,
为
的中点,
,
平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
,
平面
,
,
,
平面
,
平面
,
;
(3)由(2)知,平面
,所以,直线
与平面
所成的角为
,
,
,则
为等边三角形,所以,
,
同理可得,
,
平面
,
平面
,
,
则为等腰直角三角形,且
,
因此,与平面
所成角为
.
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