题目内容

已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t))

(I)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间;

(II)若函数f(x)的导函数满足:当|x|≤1时,有||≤恒成立,求函数f(x)的解析表达式;

(III)若0<a<b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值,且,证明:不可能垂直.

答案:
解析:

  解:(I)f(x)=x3-2x2+x(x)=3x2-4x+1,

  因为f(x)单调递增,

  所以(x)≥0,

  即3x2-4x+1≥0,

  解得,x≥1,或x,           2分

  故f(x)的增区间是(-∞,)和[1,+∞].     3分

  (II)(x)=3x2-2(a+b)x+ab

  当x∈[-1,1]时,恒有|(x)|≤.       4分

  故有(1)≤

  (-1)≤

  (0)≤,              5

  即      6

  ①+②,得

  ab,              8分

  又由③,得

  ab

  将上式代回①和②,得

  a+b=0,

  故f(x)=x3x.               9分

  (III)假设

  即·=st+f(s)f(t)=0,  10分

  (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,

  [st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,    11分

  由s,t为(x)=0的两根可得,

  s+t=(a+b),st=,(0<a<b),

  从而有ab(a-b)2=9.           12分

  这样(a+b)2=(a-b)2+4ab

  =+4ab≥2=12,

  即a+b≥2

  这样与a+b<2矛盾.        13分

  故不可能垂直.        14分


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