题目内容

【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 ,且过点D(2,0).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设点 ,若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.

【答案】
(1)解:由题意知椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程是

∵椭圆经过点D(2,0),左焦点为

∴a=2, ,可得b= =1

因此,椭圆的标准方程为


(2)解:设点P的坐标是(x0,y0),线段PA的中点为M(x,y),

由根据中点坐标公式,可得 ,整理得

∵点P(x0,y0)在椭圆上,

∴可得 ,化简整理得

由此可得线段PA中点M的轨迹方程是


【解析】(1)设椭圆方程为 ,根据题意可得a=2且c= ,从而b= =1,得到椭圆的标准方程;(2)设点P(x0 , y0),线段PA的中点为M(x,y),根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子,将P(x0 , y0)关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程,化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.

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