Question

已知圆O的方程为x²+y²=1，直线l₁过点A（3，0），且与圆O相切．
（1）求直线l₁的方程；
（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l₂，直线PM交直线l₂于点P′，直线QM交直线l₂于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中直线l₁过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l₁的方程；
（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．
解答：解：（1）由题意，可设直线l₁的方程为y=k（x-3），
即kx-y-3k=0…（2分）
又点O（0，0）到直线l₁的距离为，解得，
所以直线l₁的方程为，
即或…（5分）
（2）对于圆O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l₂方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．
解方程组，得，
同理可得：．…（9分）
所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，
又点M（s，t）在圆上，又s²+t²=1．故圆心C为，半径长．
所以圆C的方程为，…（11分）
即=0
即，
又s²+t²=1
故圆C的方程为
所以圆C经过定点，y=0，则x=，
所以圆C经过定点且定点坐标为（15分）
点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系，弦长公式等是解答本题的关键．