题目内容
【题目】对于数列
，把
作为新数列
的第一项，把
或
（
）作为新数列的第
项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列
的一个生成数列是
．已知数列为数列
的生成数列，
为数列的前
项和．
（1）写出
的所有可能值；
（2）若生成数列满足
，求数列的通项公式；
（3）证明：对于给定的
，的所有可能值组成的集合为
．
【答案】（1）
（2）
（3）详见解析.
【解析】
试题（1）列举出数列
所有可能情况，共
种，分别计算和值为，本题目的初步感观生成数列（2）已知和项解析式，则可利用
求通项. 当
时，
，而
当且仅当
时，才成立．所以（3）本题实际是对（1）的推广.证明的实质是确定集合
的个数及其表示形式.首先集合的个数最多有
种情形，而每一种的值都不一样，所以个数为种情形，这是本题的难点，利用同一法证明. 确定集合的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由
得分子必是奇数，奇数个数由范围
确定.
试题解析：解：（1）由已知，
，
，
∴
，
由于
，
∴
可能值为． 3分
（2）∵
，
当
时，
，
当时，
，
，
， 5分
∵是
的生成数列，
∴
；
；
；
∴
在以上各种组合中，
当且仅当时，才成立．
∴． 8分
（3）
共有种情形．
，即，
又，分子必是奇数，
满足条件
的奇数
共有个． 10分
设数列
与数列为两个生成数列，数列的前
项和为，数列的前项和为
，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第
项．
由于
，不妨设
，
则
，
所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有
．12分
∴共有种情形，其值各不相同．
∴可能值必恰为
，共个．
即所有可能值集合为
． 13分
注：若有其它解法，请酌情给分】
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