Question

已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），f（0）=3；方程f（x）=0有两个实根，且两实根的平方和为10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）-2m=0在区间[0，3]内有根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，所以结合题意可得a=1，b=-4，c=3，进而得到函数的解析式．
（2）根据二次函数的性质可得：函数的单调性，结合方程f（x）=2m有解可得-1≤2m≤3，进而求出m的范围．

解答：解：（1）由题意可得：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，
所以

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=(-

b

a

)2-2×

c

a

根据题意可得：

- b 2a =2 c=3 ( b a )2- 2c a =10

?

a=1 b=-4 c=3

所以函数的解析式为f（x）=x²-4x+3．
（2）根据二次函数的性质可得：f（x）在（0，2）为减函数，（2，3）为增函数，
∴f（x）_min=f（2）=-1，f（x）_max=f（0）=3．
∴f（x）∈[-1，3]．
由f（x）=2m
所以-1≤2m≤3，即-

1

2

≤m≤

3

2

，
实数m的取值范围为-

1

2

≤m≤

3

2

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握求函数解析式的方法，以及二次函数的有关性质．