题目内容
现有下列命题:①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②设,均为单位向量,若;
③数列;
④设函数,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号).
【答案】分析:①将a2-b2=1,分解变形为(a+1)(a-1)=b2,即可证明a-1<b,即a-b<1
②根据向量模的计算公式,求出时,夹角θ的范围,可判断真假
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理.进而判断其真假
④根据函数,及f2(x)+2f(x)=0解方程求出方程根的个数,可判断其真假
解答:解:①若a2-b2=1,则a2-1=b2,
即(a+1)(a-1)=b2,
∵a+1>a-1,
∴a-1<b,即a-b<1,①正确;
②若,则,
即2+2cosθ>1,cosθ>-,
又∵θ∈[0,π],
∴θ∈[0,),②正确;
③由an=n(n+4)()n,
令==≥1,
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),
即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an,
当n≥4时,an+1<an,
所以a4最大,故③正确;
令f2(x)+2f(x)=0,
则f(x)=0,或f(x)=-2,
∵,
∴当f(x)=0时,
x=1,或x=0,或x=2,
当f(x)=-2时,x=10.1或x=0.99,
故方程有5个解,故④错误
故答案为:①②③
点评:本题主要考查了不等式的证明方法,间接证明和直接证明的方法,放缩法和举反例法证明不等式,演绎推理能力,有一定难度,属中档题
②根据向量模的计算公式,求出时,夹角θ的范围,可判断真假
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理.进而判断其真假
④根据函数,及f2(x)+2f(x)=0解方程求出方程根的个数,可判断其真假
解答:解:①若a2-b2=1,则a2-1=b2,
即(a+1)(a-1)=b2,
∵a+1>a-1,
∴a-1<b,即a-b<1,①正确;
②若,则,
即2+2cosθ>1,cosθ>-,
又∵θ∈[0,π],
∴θ∈[0,),②正确;
③由an=n(n+4)()n,
令==≥1,
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),
即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an,
当n≥4时,an+1<an,
所以a4最大,故③正确;
令f2(x)+2f(x)=0,
则f(x)=0,或f(x)=-2,
∵,
∴当f(x)=0时,
x=1,或x=0,或x=2,
当f(x)=-2时,x=10.1或x=0.99,
故方程有5个解,故④错误
故答案为:①②③
点评:本题主要考查了不等式的证明方法,间接证明和直接证明的方法,放缩法和举反例法证明不等式,演绎推理能力,有一定难度,属中档题
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