Question

“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目．经测算，该项目处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数可以近似的表示为：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴．
（1）当x∈[200，300）时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获得，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

Answer 1

分析：（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．

解答：解：（1）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则S=200x-（

1

2

x²-200x+80000）=-

1

2

（x-400）²，
∴当x∈[200，300）时，S＜0，因此，该项目不会获利
当x=300时，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；
（2）由题意知，食品残渣的每吨的平均处理成本为

y

x

=

1 3 x2-80x+5040，x∈[120，144] 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500]

①当x∈[120，144）时，

y

x

=

1

3

(x-120)2+240，∴当x=120时，

y

x

取得最小值240；
②当x∈[144，500）时，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥400-200=200
当且仅当

1

2

x=

80000

x

，即x=400时，

y

x

取得最小值200
∵200＜240
∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式．