Question

给出下列五个命题：
①若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值；
②若m≥-1，则函数f(x)=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R；
③“a=1”是“函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．
④函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l-x）的图象关于y轴对称；
⑤“x₁＞1且x₂＞2”是“x₁+x₂＞3且x₁x₂＞2”的充要条件；
其中正确命题的个数是

②③

．

Answer 1

分析：利用导数的概念，对数函数的性质，函数的对称性与充分条件的概念对四个选项逐一判断即可．

解答：解：对于①，若f（x）=x³，则f′（0）=0，而函数y=f（x）在x=0处取不能取得极值，故①错误；
对于②，若使f（x）=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R，则△=4+4m≥0，
∴m≥-1，
故②正确；
对于③，若a=1，则f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

1+ex

=-f（x），
∴f（x）在定义域上是奇函数；反之，若f（-x）=-f（x），即

a-e-x

1+ae-x

=-

a-ex

1+aex

，
整理得（a²-1）（e^2x+1）=0，由于e^2x+1＞0，
∴a=±1，
∴“a=1”是“函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故③正确；
对于④，函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l-x）的图象关于y轴对称是错误的；
对于⑤，“x₁＞1且x₂＞2”是“x₁+x₂＞3且x₁x₂＞2”的充分条件而非充要条件；故⑤错误．
综上所述，②③正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的基本性质及充分条件，考查综合分析与应用的能力，属于难题．