Question

已知命题p：关于x的不等式2^|x-2|＜a的解集为∅；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由不等式2^|x-2|＜a的左边为大于或等于1的正数，可知当a≤1时不等式2^|x-2|＜a的解集为φ，而函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R，说明相应的二次函数图象开口向上，△＜0，此时不等式ax²-x+a＞0解集为R．再根据两个命题一个是真另一个是假，可以从两个命题至少一个正确的范围内，减去它们均正确的范围，即可得出实数a的取值范围．

解答：解：由不等式2^|x-2|＜a的解集为φ得a≤1．…（4分）
由函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R知：ax²-x+a＞0恒成立．
故

a＞0 △=1-4a2

＜0⇒a＞

1

2

…（8分）
由命题p和q有且仅有一个正确，
得a的取值范围是CA∪B(A∩B)=(-∞，

1

2

]∪(1，+∞)…（12分）

点评：本题考查了复合命题真假的判断，属于中档题．解题应该注意指数函数的值域，与二次不等式恒成立的意义．