题目内容
【题目】已知抛物线焦点为,为抛物线上在第一象限内一点,为原点,面积为.
(1)求抛物线方程;
(2)过点作两条直线分别交抛物线于异于点的两点,,且两直线斜率之和为,
(i)若为常数,求证直线过定点;
(ii)当改变时,求(i)中距离最近的点的坐标.
【答案】(1);(2)( i )见解析;(ii)
【解析】
(1)先将代入抛物线的方程,根据三角形面积,求出,即可得出抛物线方程;
(2)(i)先设直线不存在时没有两个交点,不成立),,联立直线与抛物线方程,根据韦达定理,得到,表示出,化简整理,得到,代入直线方程,即可得出结果;
(ii)由(i)得到定点在直线上,易得,距离最近时为,进而可求出结果.
(1)由题意,将代入抛物线得,
所以面积为,
,解得,
所以抛物线方程为;
(2)(i)由题意,设直线不存在时没有两个交点,不成立),,
联立得,所以,
所以,
则,
从而,
带入得直线
所以过定点
(ii)由(i),令,,所以,
即定点在直线上,
因为过点的直线与垂直,
由得,
所以距离最近时为.
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