题目内容

已知直线m,n与平面α,β,给出下列四个命题?
①若m∥α,n∥α,则m∥n
②若m∥α,n⊥α,则m⊥n
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β
④若m,n是异面直线,m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α∥β,
其中正确命题的个数为(  )
分析:选项①可以用空间中直线的位置关系讨论;选项②可以用线面平行的性质结合线面垂直的定义进行讨论;选项③可以用线面平行的性质结合面面垂直的判定定理进行判断;选项④可以用线线的位置关系结合面面平行的判定定理讨论.
解答:解:若m∥α,n∥α,两直线的位置关系可能是平行,相交、异面,所以①不正确
若m∥α,由线面平行的性质,能将m平移到α内的m′,由n⊥α知n⊥m′,所以m⊥n成立,故②正确.
若m∥β,由线面平行的性质,能将m平移到β内的m′,结合m⊥α,m∥m′得m′⊥α,
β经过的α垂线,从而α⊥β,故③正确.
对于④,若m,n是异面直线,可以将直线m平移到m′,使相交直线m′、n确定一个平面γ,由m′∥α,n∥α,
可得平面γ∥α,同理可得γ∥β,最后由平行于同一平面的两平面平行,得α∥β,故④正确
综上所述,正确选项有②③④,3个
故选C
点评:本题是概念辨析题,着重考查了平面与平面之间的位置关系和面面垂直的判定、面面平行的判定,考查了空间想像能力,属于基础题.
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