Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率为e=

3

3

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值．

Answer 1

分析：（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k₁，k₂，将P的坐标的关系代入k₁k₂化简求出其值．

解答：（Ⅰ）解：由题意，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+2=0与圆相切，∴d=

2

2

=b，即b=

2

，
又e=

c

a

=

3

3

，即a=

3

c，
∵a²=b²+c²，
∴a=

3

，c=1，
所以椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀）（y₀≠0），A(-

3

，0)，B(

3

，0)，
则

x 2 0

3

+

y 2 0

2

=1，即

y

2 0

=2-

2

3

x

2 0

，
∵直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，
∴k1=

y0

x0+ 3

，k2=

y0

x0- 3

，
∴k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -3

=

2- 2 3 x 2 0

x 2 0 -3

=

2 3 (3- x 2 0 )

x 2 0 -3

=-

2

3

，
∴k₁•k₂为定值-

2

3

．

点评：本题重点考查圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率，解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程．