Question

（本小题12分）
如图所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos< >的值；
]                  （3）求证：A₁B⊥C₁M.

Answer 1

如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
（2）依题意得A₁（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B₁（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}
·=3，||=，||=
∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C₁（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，
={，0}.∴·=－+0=0，
∴⊥，∴A₁B⊥C₁M.

解析