Question

选修4-2：矩阵与变换：在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵M=

1 0 k 1

表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边 A₁B₁C₁D₁，问：四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁的面积是否相等？试证明你的结论．

Answer 1

分析：根据画图可知四边形ABCD是直角梯形，求出其面积，然后求出A，B，C，D四点经矩阵M对应的变换后的点的坐标，再求出变换后的四边形的面积，即可得到结论．

解答：解  由题知，四边形ABCD是直角梯形，其的面积为S₁=3．  …（3分）
A，B，C，D四点经矩阵M对应的变换后依次为A₁（0，1），B₁（2，2k+1），C₁（2，2k+3），D₁（0，2）．…（7分）
因为A₁D₁与B₁C₁平行且距离为2，且四边形A₁B₁C₁D₁也是直角梯形，所以四边形A₁B₁C₁D₁的面积为S₂=

1+2

2

×2=3．
综上所述，四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁的面积相等．  …（10分）

点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，同时考查了四边形面积的计算，属于基础题．