题目内容
(2012•安庆模拟)设函数f(x)=cos
(sin
+cos
)-
(Ⅰ)求函数y=f(x)取最值时x的取值集合;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,且满(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.
x |
4 |
x |
4 |
x |
4 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求函数y=f(x)取最值时x的取值集合;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,且满(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.
分析:(1)利用两角和差的正弦公式化简函数f(x)的解析式为
sin(
+
),哟此求得函数y=f(x)取最值时x的取值集合.
(2)根据(2a-c)cosB=Bcosc,利用正弦定理可得 2conB=1,B=
. 再由f(A)═
sin(
+
),以及 0<A<
,求得函数f(A)的取值范围.
| ||
2 |
x |
2 |
π |
4 |
(2)根据(2a-c)cosB=Bcosc,利用正弦定理可得 2conB=1,B=
π |
3 |
| ||
2 |
A |
2 |
π |
4 |
2π |
3 |
解答:解:(1)∵函数f(x)=cos
(sin
+cos
)-
=
sin
+
-
=
(sin
+cos
)=
sin(
+
),…(4分)
故当
+
=kπ+
,k∈z 时,f(x)取最值,
此时x取值的集合:{x|x=kπ+
},k∈z. …(6分)
(2)∵(2a-c)cosB=Bcosc,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA. …(8分)
∴2conB=1,∴B=
.
∵f(A)═
sin(
+
),且 0<A<
,
∴
<
+
<
,
∴
<f(A)≤
,故函数f(A)的取值范围为(
,
]. …(12分)
x |
4 |
x |
4 |
x |
4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
x |
2 |
1+cos
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
| ||
2 |
x |
2 |
π |
4 |
故当
x |
2 |
π |
4 |
π |
2 |
此时x取值的集合:{x|x=kπ+
π |
2 |
(2)∵(2a-c)cosB=Bcosc,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA. …(8分)
∴2conB=1,∴B=
π |
3 |
∵f(A)═
| ||
2 |
A |
2 |
π |
4 |
2π |
3 |
∴
π |
4 |
A |
2 |
π |
4 |
7π |
12 |
∴
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
点评:本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
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