题目内容

(2012•安庆模拟)设函数f(x)=cos
x
4
(sin
x
4
+cos
x
4
)-
1
2

(Ⅰ)求函数y=f(x)取最值时x的取值集合;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,且满(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.
分析:(1)利用两角和差的正弦公式化简函数f(x)的解析式为
2
2
sin(
x
2
+
π
4
),哟此求得函数y=f(x)取最值时x的取值集合.
(2)根据(2a-c)cosB=Bcosc,利用正弦定理可得 2conB=1,B=
π
3
. 再由f(A)═
2
2
sin(
A
2
+
π
4
),以及 0<A<
3
,求得函数f(A)的取值范围.
解答:解:(1)∵函数f(x)=cos
x
4
(sin
x
4
+cos
x
4
)-
1
2
=
1
2
sin
x
2
+
1+cos
x
2
2
-
1
2
=
1
2
 (sin
x
2
+cos
x
2
)=
2
2
sin(
x
2
+
π
4
),…(4分)
故当
x
2
+
π
4
=kπ+
π
2
,k∈z 时,f(x)取最值,
此时x取值的集合:{x|x=kπ+
π
2
},k∈z.  …(6分)
(2)∵(2a-c)cosB=Bcosc,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.     …(8分)
∴2conB=1,∴B=
π
3

∵f(A)═
2
2
sin(
A
2
+
π
4
),且 0<A<
3

π
4
A
2
+
π
4
12

1
2
<f(A)≤
2
2
,故函数f(A)的取值范围为(
1
2
2
2
].     …(12分)
点评:本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
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