题目内容
ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
．
（1）求证：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（3）设二面角A-PC-B的大小为θ，试求tanθ的值．
| 3 |
（1）求证：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（3）设二面角A-PC-B的大小为θ，试求tanθ的值．
证明：（1）∵PA⊥面ABCD，
PA?平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC；
（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：
∵O为BD的中点，则EO=
PC=
=
，且OE∥PC
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
．
∴OB=
BD=
，BE=
∴|cos∠EOB|=|
|=
；
即异面直线PC与BD所成角的余弦值为
；
（3）过A作AE⊥PC交PC于E，过E作EF⊥PC交PB于F，连接AE．则二面角A-PC-B的平面角为∠AEF即∠AEF=θ．
在Rt△APC中，PC=
，∴AE=
=
，PE=
=
，
在△PBC中，PB=
，BC=2，∴cos∠BPC=
=
，
在Rt△PEF中，tan∠EPF=
，∴EF=PE•tan∠EPF=
在△PAF中，PF=
=
，cos∠FPA=
=
，∴AF=1，
在△AEF中，cosθ=
，∴tanθ=
PA?平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC；
（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：
∵O为BD的中点，则EO=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| PA2+AC2 |
| ||
| 2 |
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
| 3 |
∴OB=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
∴|cos∠EOB|=|
| OE2+OB2-BE2 |
| 2OE•OB |
| 3 |
| 7 |
即异面直线PC与BD所成角的余弦值为
| 3 |
| 7 |
（3）过A作AE⊥PC交PC于E，过E作EF⊥PC交PB于F，连接AE．则二面角A-PC-B的平面角为∠AEF即∠AEF=θ．
在Rt△APC中，PC=
| 7 |
| AP•AC |
| PC |
2
| ||
|
| PA2-AE2 |
| 4 | ||
|
在△PBC中，PB=
| 5 |
| PC2+PB2-BC2 |
| 2PC•PB |
| 4 | ||
|
在Rt△PEF中，tan∠EPF=
| ||
| 4 |
| ||
|
在△PAF中，PF=
| PE2+EF2 |
| 5 |
| PA |
| PB |
| 2 | ||
|
在△AEF中，cosθ=
2
| ||
|
| ||
| 6 |
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